Der Absolutwert in der Analysis ist sehr nützlich, um verschiedene mathematische Probleme sowohl in Gleichungen als auch in Ungleichungen zu lösen. Das Folgende ist eine vollständige Erklärung der absoluten Werte und Beispielfragen.
Definition des Absolutwertes
Alle Zahlen haben ihre jeweiligen absoluten Werte. Alle absoluten Zahlen sind positiv, daher haben die absoluten Zahlenwerte von Zahlen mit derselben Zahl, aber der Differenz zwischen positiven (+) und negativen (-) Notationen das gleiche absolute Zahlenergebnis.
Wenn x ein Mitglied einer reellen Zahl ist, wird der Absolutwert als | x | geschrieben und ist wie folgt definiert:
"Absolutwert ist eine Zahl mit dem gleichen Wert für Länge oder Abstand vom Ursprung oder Nullpunkt in den Koordinaten."
Es kann interpretiert werden, dass der Absolutwert von 5 die Länge oder Entfernung von Punkt 0 zu Punkt 5 oder (-5) ist.
Die absoluten Werte von (-9) und 9 sind 9. Der absolute Wert von 0 ist 0 und so weiter. Nilaa
Ich werde es absolut verstehen, wenn ich mir das folgende Bild ansehe:
Im obigen Bild ist zu verstehen, dass der Wert von | 5 | ist der Abstand des Punktes 5 von der Zahl 0, nämlich 5 und | -5 | Der Punktabstand (-5) von Nummer 0 beträgt 5.
Wenn | x | repräsentiert den Abstand vom Punkt x zu 0, dann | xa | ist der Abstand von Punkt x zu Punkt a. Wenn Sie beispielsweise den Abstand von Punkt 5 zu Punkt 2 ausdrücken, könnte dies als | 5-2 | = 3 geschrieben werden
Im Allgemeinen kann angegeben werden, dass der Abstand x zu a mit der Notation | xa | geschrieben werden kann oder | ax |
Zum Beispiel ist der Abstand einer Zahl zu Punkt 3 wie folgt 7 wert:
Wenn in der algebraischen Gleichung | x-3 | = 7 beschrieben, kann es wie folgt gelöst werden:
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Denken Sie daran, dass | x-3 | ist der Abstand der Zahl x zu Punkt 3, wobei | x-3 | = 7 der Abstand der Zahl x zu Punkt 3 für 7 Einheiten ist.
Eigenschaften des Absolutwerts
Bei Operationen mit absoluten Zahlengleichungen gibt es Eigenschaften für absolute Zahlen, mit deren Hilfe absolute Gleichungen gelöst werden können.
Im Folgenden sind die Eigenschaften von absoluten Zahlen im Allgemeinen in Absolutwertgleichungen aufgeführt:
Die Eigenschaften des Absolutwerts der Ungleichung:
Beispiele für Absolutwertgleichungsprobleme
Beispiel Problem 1
Was ist der absolute Wert der Gleichung | 10-3 |?
Antworten:
| 10-3 | = | 7 | = 7
Beispiel Problem 2
Was ist das Ergebnis von x für die Gleichung für den Absolutwert | x-6 | = 10?
Antworten:
Um diese Gleichung zu lösen, gibt es zwei mögliche Ergebnisse für absolute Zahlen
| x-6 | = 10
Erste Lösung:
x-6 = 10
x = 16
zweite Lösung:
x - 6 = -10
x = -4
Die Antwort auf diese Gleichung lautet also 16 oder (-4)
Beispiel Problem 3
Lösen und berechnen Sie den x-Wert in der folgenden Gleichung
–3 | x - 7 | + 2 = –13
Antworten:
–3 | x - 7 | + 2 = –13
–3 | x - 7 | = –13 - 2
–3 | x - 7 | = –15
| x - 7 | = –15 / –3
| x - 7 | = 5
Fertig bis zur obigen Lösung, dann hat der x-Wert zwei Werte
x - 7 = 5
x = 12
oder
x - 7 = - 5
x = 2
Der endgültige x-Wert ist also 12 oder 2
Beispiel Problem 4
Lösen Sie die folgende Gleichung und den x-Wert
| 7 - 2x | - 11 = 14
Antworten:
| 7 - 2x | - 11 = 14
| 7 - 2x | = 14 + 11
| 7 - 2x | = 25
Nach Vervollständigung der obigen Gleichung lauten die Zahlen für den Absolutwert von x wie folgt
7 - 2x = 25
2x = - 18
x = - 9
oder
7 - 2x = - 25
2x = 32
x = 16
Der endgültige x-Wert ist also (- 9) oder 16
Beispiel Problem 5
Finden Sie die Lösung für die folgende Absolutwertgleichung:
| 4x - 2 | = | x + 7 |
Antworten:
Verwenden Sie zwei mögliche Lösungen, um die obige Gleichung zu lösen:
Lesen Sie auch: Fehler beim Lesen der statistischen Ergebnisse der Umfrage zur Wahlbarkeit der Präsidentschaftskandidaten4x - 2 = x + 7
x = 3
oder
4x - 2 = - (x + 7)
x = - 1
Also die Lösung für die Gleichung | 4x - 2 | = | x + 7 | ist x = 3 oder x = - 1
Beispiel Problem 6
Bestimmen Sie die Lösung für die folgende Absolutwertgleichung:
| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | - 2 = 0
Was ist der Wert von x?
Antworten:
Vereinfachung: | 3x + 2 | = p
dann
| 3x + 2 | ² + | 3x + 2 | -2 = 0
p² + p - 2 = 0
(p + 2) (p - 1) = 0
p + 2 = 0
p = - 2 (absoluter Wert ist nicht negativ)
oder
p - 1 = 0
p = 1
| 3x + 2 | = 1
Bis zur obigen Lösung gibt es 2 mögliche Antworten für x, nämlich:
3x + 2 = 1
3x = 1 - 2
3x = - 1
x = - 1/3
oder
- (3x + 2) = 1
3x + 2 = - 1
3x = - 1 - 2
3x = - 3
x = - 1
Die Lösung der Gleichung lautet also x = - 1/3 oder x = - 1
Referenz: Absolutwert - Mathe macht Spaß
