Die mathematische Induktion ist eine deduktive Methode, um wahre oder falsche Aussagen zu beweisen.
Sie müssen in der High School Mathematik-Induktion studiert haben. Wie wir wissen, ist die mathematische Induktion eine Erweiterung der mathematischen Logik.
In seiner Anwendung wird mathematische Logik verwendet, um falsche oder wahre, äquivalente oder negative Aussagen zu untersuchen und Schlussfolgerungen zu ziehen.
Grundlegendes Konzept
Die mathematische Induktion ist eine deduktive Methode, mit der wahre oder falsche Aussagen bewiesen werden.
Dabei werden auf der Grundlage der Gültigkeit der allgemein anerkannten Aussagen Schlussfolgerungen gezogen, so dass auch bestimmte Aussagen wahr sein können. Darüber hinaus wird eine Variable in der mathematischen Induktion auch als Mitglied der Menge der natürlichen Zahlen betrachtet.
Grundsätzlich gibt es drei Schritte in der mathematischen Induktion, um zu beweisen, ob eine Formel oder Aussage wahr sein kann oder umgekehrt.
Diese Schritte sind:
- Beweisen Sie, dass eine Aussage oder Formel für n = 1 wahr ist.
- Angenommen, eine Aussage oder Formel ist wahr für n = k.
- Beweisen Sie, dass eine Aussage oder Formel für n = k + 1 wahr ist.
Aus den obigen Schritten können wir annehmen, dass eine Aussage für n = k und n = k + 1 überprüfbar sein muss.
Arten der mathematischen Induktion
Es gibt verschiedene Arten von mathematischen Problemen, die durch mathematische Induktion gelöst werden können. Daher kann die mathematische Induktion in drei Typen unterteilt werden, nämlich Reihen, Teilung und Ungleichung.
1. Serie
Bei dieser Art von Reihen liegt das mathematische Induktionsproblem normalerweise in Form einer sukzessiven Addition vor.
Im Serienproblem muss die Wahrheit also im ersten Term, dem k-Term und dem th-Term (k + 1), bewiesen werden.
2. Teilung
Wir können die Arten der Divisionsmathematik-Induktion in verschiedenen Problemen finden, die die folgenden Sätze verwenden:
- a ist teilbar durch b
- b Faktor von a
- b teilt a
- ein Vielfaches b
Diese vier Merkmale zeigen, dass die Aussage unter Verwendung einer mathematischen Induktion vom Divisionstyp gelöst werden kann.
Die Sache, an die man sich erinnern sollte, ist, wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist a = bm, wobei m eine ganze Zahl ist.
3. Ungleichheit
Die Art der Ungleichung wird durch ein Zeichen angezeigt, das größer oder kleiner als das in der Anweisung ist.
Es gibt Eigenschaften, die häufig zur Lösung mathematischer Induktionstypen von Ungleichungen verwendet werden. Diese Eigenschaften sind:
- a> b> c ⇒ a> c oder a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc oder a> b und c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c oder a> b ⇒ a + c> b + c
Beispiel für mathematische Induktionsprobleme
Das Folgende ist ein Beispielproblem, damit Sie besser verstehen können, wie ein Formelnachweis mithilfe der mathematischen Induktion gelöst wird.
Reihe
Beispiel 1
Man beweise 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) für jeweils n natürliche Zahlen.
Antworten:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Es wird bewiesen, dass n = (n) für jedes n ∈ N gilt
Erster Schritt :
Es wird gezeigt, dass n = (1) korrekt ist
2 = 1 (1 + 1)
Also ist P (1) richtig
Zweiter Schritt :
Angenommen, n = (k) ist wahr, d.h.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N.
Dritter Schritt
Es wird gezeigt, dass n = (k + 1) auch wahr ist, das heißt
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Aus den Annahmen:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Fügen Sie beide Seiten mit u k + 1 hinzu :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Also ist n = (k + 1) richtig
Beispiel 2
Verwenden Sie die mathematische Induktion, um Gleichungen zu beweisen
Sn = 1 + 3 + 5 +7 +… + (2n-1) = n2 für alle ganzen Zahlen n ≥ 1.
Antworten:
Erster Schritt :Es wird gezeigt, dass n = (1) korrekt ist
S1 = 1 = 12
Zweiter Schritt
Angenommen, n = (k) ist wahr, das heißt
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) = k 2
Dritter Schritt
Man beweise, dass n = (k + 1) wahr ist
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
Denken Sie daran, dass 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k-1) = k2
dann
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
dann ist die obige Gleichung bewiesen
Beispiel 3
Beweisen Sie, dass 1 + 3 + 5 +… + (2n - 1) = n2 für alle n natürlichen Zahlen wahr ist
Antworten:
Erster Schritt :
Es wird gezeigt, dass n = (1) korrekt ist
1 = 12
Also ist P (1) richtig
Zweiter Schritt :
Angenommen, n = (k) ist wahr, das heißt
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Dritter Schritt :
Es wird gezeigt, dass n = (k + 1) auch wahr ist, das heißt
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Aus den Annahmen:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Fügen Sie beide Seiten mit u k + 1 hinzu :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Also ist auch n = (k + 1) wahr
Teilung
Beispiel 4
Man beweise, dass n3 + 2n für jeweils n natürliche Zahlen durch 3 teilbar ist
Antworten:
Erster Schritt :
Es wird gezeigt, dass n = (1) korrekt ist
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Also ist n = (1) richtig
Lesen Sie auch: Verständnis und Eigenschaften der kommunistischen Ideologie + BeispieleZweiter Schritt :
Angenommen, n = (k) ist wahr, das heißt
k3 + 2k = 3m, k ≤ NN
Dritter Schritt:
Es wird gezeigt, dass n = (k + 1) auch wahr ist, das heißt
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ≤ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Da m eine ganze Zahl und k eine natürliche Zahl ist, ist (m + k2 + k + 1) eine ganze Zahl.
Angenommen, dann ist p = (m + k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, wobei p ≤ ZZ ist
Also ist n = (k + 1) richtig
Ungleichheit
Beispiel 5
Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 2 gültig ist
3n> 1 + 2n
Antworten:
Erster Schritt :
Es wird gezeigt, dass n = (2) korrekt ist
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Also ist P (1) richtig
Zweiter Schritt :
Angenommen, n = (k) ist wahr, das heißt
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Dritter Schritt:
Es wird gezeigt, dass n = (k + 1) auch wahr ist, das heißt
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (weil 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (weil 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Also ist auch n = (k + 1) wahr
Beispiel 6
Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 4 gültig ist
(n + 1)! > 3n
Antworten:
Erster Schritt :
Es wird gezeigt, dass n = (4) korrekt ist
(4 + 1)! > 34
linke Seite: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
rechte Seite: 34 = 81
Also ist n = (4) richtig
Zweiter Schritt :
Angenommen, n = (k) ist wahr, das heißt
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Dritter Schritt:
Es wird gezeigt, dass n = (k + 1) auch wahr ist, das heißt
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (weil (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (weil k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Also ist auch n = (k + 1) wahr
