Pascals Dreieck ist eine Anordnung von Dreiecken, die durch Addition benachbarter Elemente in der vorherigen Zeile erstellt werden. Diese Anordnung der Dreiecke erfolgt durch Hinzufügen benachbarter Elemente in der vorherigen Zeile.
Angenommen, die Variablen a und b werden addiert und dann auf die Potenz von 0 auf die Potenz von 3 angehoben. Das Ergebnis ist die folgende Beschreibung.
Betrachten Sie als nächstes die fettgedruckte Anordnung der Zahlen von oben nach unten, bis Sie eine Dreiecksform finden. Dieses Zahlenmuster wird im Folgenden als Pascal-Dreieck bezeichnet.
Pascals Dreieck verstehen
Pascals Dreieck ist die geometrische Regel für den Binomialkoeffizienten eines Dreiecks.
Das Dreieck ist nach dem Mathematiker Blaise Pascal benannt, obwohl andere Mathematiker es Jahrhunderte vor ihm in Indien, Persien, China und Italien studiert haben.
Konzept der Regeln
Das Konzept des Pascal-Dreiecks ist ein Berechnungssystem für dieses Dreieck, unabhängig von den Variablen a und b. Dies bedeutet, dass es ausreicht, den Binomialkoeffizienten wie folgt zu beachten:
- Schreiben Sie in die Nulllinie nur die Zahl 1.
- Schreiben Sie in jede Zeile unten links und rechts die Nummer 1.
- Die Summe der beiden Zahlen oben, dann in die Zeile darunter geschrieben.
- 1 links und rechts nach (2) umgibt immer das Ergebnis (3)
- Berechnungen können mit demselben Muster fortgesetzt werden.
Eine Verwendung dieses Dreiecks besteht darin, den Leistungskoeffizienten (a + b) oder (ab) zu bestimmen, um es effizienter zu machen. Diese Verwendung wird in den folgenden Beispielen beschrieben.
Problembeispiel
Tipp: Achten Sie auf Pascals Dreieck.
1. Was ist die Übersetzung (a + b) 4?
Lösung : Für (a + b) 4
- Zunächst werden die Variablen a und b ausgehend von a4b oder a4 angeordnet
- Dann fällt die Potenz von a auf 3, was a3b1 ist (die Gesamtleistung von ab muss 4 sein).
- Dann fällt die Potenz von a auf 2 und wird zu a2b2
- Dann fällt die Potenz von a auf 1 und wird ab3
- Dann fällt die Potenz von a auf 0, auf b4
- Als nächstes schreiben Sie die Gleichung mit dem Koeffizienten vor Leerzeichen
Gemäß Fig. 2 in der 4. Ordnung werden die Zahlen 1,4,6,4,1 erhalten, so dass die Translation (a + b) 4 erhalten wird
2. Was ist der Koeffizient a3b3 bei (a + b) 6?
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Basierend auf Frage Nummer 1 wird die Reihenfolge der Variablen aus (a + b) 6 angeordnet, nämlich
a6, a5b1, a4b2, a 3 b 3 .
Dies bedeutet , dass in der vierten Platz (Bild 2, Sequenz 6) in dem Muster 1, 6, 15, 20 ist 20 . Somit können 20 a3b3 geschrieben werden.
3. Bestimmen Sie die Translation von (3a + 2b) 3
Siedlung
Die allgemeine Formel für das Pascal-Dreieck als Summe der Variablen a und b hoch 3 wird wie folgt dargestellt
Durch Ändern der Variablen in 3a und 2b erhalten wir
