Kreisgleichungen - Formeln, allgemeine Formen und Beispielprobleme

Kreisgleichung

Die Kreisgleichung hat die allgemeine Form x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, mit der der Radius und der Mittelpunkt eines Kreises bestimmt werden können.

Die Kreisgleichung, die Sie unten lernen, hat mehrere Formen. In verschiedenen Fällen kann die Gleichung unterschiedlich sein. Verstehe es daher gut, damit du es dir auswendig lernen kannst.

Kreis ist eine Reihe von Punkten, die von einem Punkt gleich weit entfernt sind. Die Koordinaten dieser Punkte werden durch die Anordnung der Gleichung bestimmt. Dies wird anhand der Länge des Radius und der Koordinaten des Kreismittelpunkts bestimmt.

Kreisgleichungen

Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen, nämlich Gleichungen, die aus dem Mittelpunkt und dem Radius gebildet werden, und eine Gleichung, die für den Mittelpunkt und den Radius gefunden werden kann.

Allgemeine Kreisgleichung

Es gibt eine allgemeine Gleichung wie folgt:

Kreisgleichung

Aus der obigen Gleichung können der Mittelpunkt und der Radius bestimmt werden:

Kreisgleichung

Der Mittelpunkt des Kreises ist:

In der Mitte von P (a, b) und Radius r

Wenn Sie aus einem Kreis den Mittelpunkt und den Radius kennen, erhalten Sie die Formel:

Kreisgleichung

Wenn Sie den Mittelpunkt eines Kreises und den Radius des Kreises kennen, wobei (a, b) der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises ist.

Aus der oben erhaltenen Gleichung können wir bestimmen, ob der Punkt auf dem Kreis oder innerhalb oder außerhalb liegt. Um die Position des Punkts zu bestimmen, verwenden Sie die Punktsubstitution in den Variablen x und y und vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem Quadrat des Radius des Kreises.

Kreisgleichung

Ein Punkt M (x 1 , y 1 ) liegt:

Kreisgleichung

Auf dem Kreis:

Innerhalb des Kreises:

Außerhalb des Kreises:

Bei mit Zentrum O (0,0) und Radius r

Wenn der Mittelpunkt bei O (0,0) liegt, führen Sie die Ersetzung im vorherigen Teil durch, nämlich:

Kreisgleichung

Aus der obigen Gleichung kann die Position eines Punktes auf dem Kreis bestimmt werden.

Kreisgleichung

Ein Punkt M (x 1 , y 1 ) liegt:

Auf dem Kreis:

Innerhalb des Kreises:

Außerhalb des Kreises: Lesen Sie auch: Kunst ist: Definition, Funktion, Typen und Beispiele [VOLL]

Die allgemeine Form der Gleichung kann in den folgenden Formen ausgedrückt werden.

(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2 oder

X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 oder

X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, wobei P = -2a, Q = -2b und S = a2 + b2 - r2

Der Schnittpunkt von Linien und Kreisen

Ein Kreis mit der Gleichung x2 + y2 + Ax + By + C = 0 kann bestimmt werden, ob eine Linie h mit der Gleichung y = mx + n sie nach dem Diskriminanzprinzip nicht berührt, beleidigt oder schneidet.

……. (Gleichung 1)

…… .. (Gleichung 2)

Durch Einsetzen von Gleichung 2 in Gleichung 1 erhalten Sie eine quadratische Gleichung, nämlich:

Kreisgleichung

Aus der obigen quadratischen Gleichung ist durch Vergleichen der Diskriminanzwerte ersichtlich, ob die Linie den Kreis nicht beleidigt, beleidigt oder schneidet.

Die Linie h schneidet / verletzt den Kreis nicht, also ist D <0

Die Linie h tangiert den Kreis, also ist D = 0

Die h-Linie schneidet den Kreis, also D> 0

Kreisgleichung

Tangentengleichungen zu Kreisen

1. Tangentengleichung durch einen Punkt auf einem Kreis

Tangenten an einen Kreis treffen genau auf einen Punkt auf dem Kreis. Aus dem Schnittpunkt der Tangente und des Kreises kann die Gleichung der Tangentenlinie bestimmt werden.

Die Gleichung für die Tangente an den Kreis durch den Punkt P (x 1 , y 1 ) kann bestimmt werden, nämlich:

  • Gestalten

Die Gleichung der Tangente

    • Gestalten

    Die Gleichung der Tangente

    Kreisgleichung
    • Gestalten

    Die Gleichung der Tangente

    Problembeispiel:

    Die Gleichung für die Tangente durch den Punkt (-1,1) auf dem Kreis

    sind:

    Antworten:

    Kennen Sie die Gleichung für den Kreis

    wobei A = -4, B = 6 und C = -12 und x 1 = -1, y 1 = 1

    PGS ist

    Kreisgleichung

    Die Tangentengleichung lautet also

    2. Die Gleichung tangiert den Gradienten

    Wenn eine Linie mit der Steigung m einen Kreis tangiert,

    Kreisgleichung

    dann lautet die Gleichung der Tangente:

    Wenn es ein Kreis ist,

    Kreisgleichung

    dann die Gleichung der Tangente:

    Kreisgleichung

    Wenn es ein Kreis ist,

    dann die Gleichung der Tangente durch Ersetzen von r durch,

    Kreisgleichung

    damit:

    Kreisgleichung

    oder

    3. Tangentengleichungen zu Punkten außerhalb des Kreises

    Von einem Punkt außerhalb des Kreises können zwei Tangenten an den Kreis gezeichnet werden.

    Lesen Sie auch: Demokratie: Definition, Geschichte und Typen [FULL]

    Um die Tangentengleichung zu finden, wird die reguläre Liniengleichungsformel verwendet, nämlich:

    Kreisgleichung

    Aus dieser Formel ist jedoch der Wert der Steigung der Linie unbekannt. Um die Steigung der Linie zu ermitteln, ersetzen Sie die Kreisgleichung durch die Gleichung. Da die Linie eine Tangente ist, ergibt sich aus der Gleichung die Substitution für den Wert D = 0, und der Wert von m wird erhalten

    Problembeispiel

    Beispiel Problem 1

    Ein Kreis hat einen Mittelpunkt (2, 3) und einen Durchmesser von 8 cm. Die Gleichung des Kreises lautet ...

    Diskussion:

    Da d = 8 r = 8/2 = 4 bedeutet, lautet die Gleichung für den gebildeten Kreis

    (x - 2) ² + (y - 3) ² = 42

    x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16

    x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

    Beispiel Problem 2

    Bestimmen Sie die allgemeine Gleichung für den Kreis, der am Punkt (5,1) zentriert ist und die Linie 3 x - 4 y + 4 = 0 verletzt !

    Diskussion:

    Wenn bekannt ist, dass der Mittelpunkt des Kreises ( a , b ) = (5,1) und die Tangente an den Kreis 3 x - 4 y + 4 = 0 beträgt, wird der Radius des Kreises wie folgt formuliert.

    Somit lautet die allgemeine Gleichung für den Kreis wie folgt.

    Somit lautet die allgemeine Gleichung für einen Kreis, der bei (5,1) zentriert ist und die Linie 3 x - 4 y + 4 = 0 verletzt

    Beispiel Problem 3

    Finden Sie die allgemeine Gleichung für einen Kreis, der bei (-3,4) zentriert ist und die Y-Achse verletzt!

    Diskussion:

    Zeichnen wir zunächst den Graphen des Kreises, der bei (-3,4) zentriert ist und die Y-Achse verletzt!

    Anhand des obigen Bildes ist ersichtlich, dass der Mittelpunkt des Kreises an der Koordinate (-3,4) mit einem Radius von 3 liegt, so dass:

    Somit ist die allgemeine Gleichung, die bei (-3,4) zentriert ist und die Y-Achse verletzt, ist

    In einigen Fällen ist der Radius des Kreises nicht bekannt, aber die Tangente ist bekannt. Wie kann man also den Radius des Kreises bestimmen? Schauen Sie sich das folgende Bild an.

    Kreisgleichung

    Das obige Bild zeigt, dass sich die Tangente an die Gleichung px + qy + r = 0 auf den bei C ( a, b ) zentrierten Kreis bezieht . Der Radius kann durch die folgende Gleichung bestimmt werden. a, b ). Der Radius kann durch die folgende Gleichung bestimmt werden.

    Könnte nützlich sein.