Quadratische Gleichungen (FULL): Definition, Formeln, Beispielprobleme

quadratische Gleichung

Die quadratische Gleichung ist eine der mathematischen Gleichungen der Variablen mit der höchsten Zweierpotenz.

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung oder PK ist wie folgt:

ax 2 + bx + c = 0

Dabei ist x die Variable, a , b der Koeffizient und c die Konstante. Der Wert von a ist ungleich Null.

Diagrammformen

Wenn eine quadratische Gleichung in Form von kartesischen Koordinaten (x, y) beschrieben wird, bildet sie einen parabolischen Graphen. Daher werden quadratische Gleichungen oft auch als parabolische Gleichungen bezeichnet .

Das Folgende ist ein Beispiel für die Form dieser Gleichung in Form eines Parabolgraphen.

Graph der quadratischen Gleichungen

In der allgemeinen Gleichung beeinflussen die Werte von a , b und c das resultierende parabolische Muster stark.

Der Wert von a bestimmt die konkave oder konvexe Kurve der Parabel. Wenn der Wert a> 0 ist, öffnet sich die Parabel (konkav) . Wenn umgekehrt a <0 ist , öffnet sich die Parabel nach unten (konvex) .

Der Wert von b in der Gleichung bestimmt den Scheitelpunkt der Parabel . Mit anderen Worten, bestimmen Sie den Wert der Symmetrieachse der Kurve, der gleich x = - b / 2a ist .

Der konstante Wert c im Diagramm der Gleichung bestimmt den Schnittpunkt der Parabelfunktion auf der y-Achse . Das Folgende ist ein parabolischer Graph mit Änderungen des konstanten Wertes c .

Wurzeln der quadratischen Gleichung (PK)

Die Lösung einer quadratischen Gleichung heißt Kar - die Wurzel der quadratischen Gleichung .

Verschiedene PK-Wurzeln

Die Arten von Wurzeln PK können leicht unter Verwendung der allgemeinen Formel D = b2 - 4ac aus der allgemeinen Gleichung für die quadratische ax2 + bx + c = 0 gefunden werden.

Das Folgende sind die Arten von Wurzeln quadratischer Gleichungen.

1. Echte Wurzel (D> 0)

Wenn der Wert von D> 0 aus einer PK stammt, werden echte Wurzeln erzeugt, die jedoch unterschiedliche Wurzeln haben. Mit anderen Worten ist x1 nicht dasselbe wie x2.

Beispiel der reellen Wurzelgleichung (D> 0)

Finden Sie den Wurzeltyp der Gleichung x2 + 4x + 2 = 0.

Siedlung:

a = 1; b = 4; und c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (1) (2)

D = 16 - 8

D = 8

Da also der Wert von D> 0 ist, ist die Wurzel vom Typ echte Wurzel.

2. Die reale Wurzel ist gleich x1 = x2 (D = 0)

Ist ein Wurzeltyp einer quadratischen Gleichung, der Wurzeln mit demselben Wert erzeugt (x1 = x2).

Beispiel für echte Wurzeln (D = 0)

Finden Sie den PK-Wurzelwert von 2x2 + 4x + 2 = 0.

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Siedlung:

a = 2; b = 4; c = 2

D = b2 - 4ac

D = 42 - 4 (2) (2)

D = 16-16

D = 0

Da also der Wert von D = 0 ist, ist bewiesen, dass die Wurzeln real und Zwillinge sind.

3. Imaginäre Wurzeln / nicht real (D <0)

Wenn der Wert von D <0 ist, ist die Wurzel der quadratischen Gleichung imaginär / nicht real.

Beispiel für imaginäre Wurzeln (D <0) /

Finden Sie den Wurzeltyp der Gleichung x2 + 2x + 4 = 0.

Siedlung:

a = 1; b = 2; c = 4

D = b2 - 4ac

D = 22 - 4 (1) (4)

D = 4 - 16

D = -12

Da also der Wert von D <0 ist, ist die Wurzel der Gleichung eine unwirkliche oder imaginäre Wurzel.

Finden Sie die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Es gibt verschiedene Methoden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Dazu gehören Faktorisierung, perfekte Quadrate und die Verwendung der Formel abc.

Im Folgenden werden verschiedene Methoden zum Auffinden von Gleichungswurzeln beschrieben.

1. Faktorisierung

Faktorisierung / Factoring ist eine Methode zum Finden von Wurzeln, indem nach einem Wert gesucht wird, der bei Multiplikation einen anderen Wert ergibt.

Es gibt drei Formen quadratischer Gleichungen (PK) mit unterschiedlicher Wurzelfaktorisierung:

Nein. Gleichungsform Wurzel-Wurzel-Faktorisierung
1 x 2 + 2xy + y 2 = 0 (x + y) 2 = 0
2 x 2 - 2xy + y 2 = 0 (x - y) 2 = 0
3 x 2 - y 2 = 0 (x + y) (x - y) = 0

Das Folgende ist ein Beispiel für ein Problem bei der Verwendung der Faktorisierungsmethode in quadratischen Gleichungen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung 5x 2 + 13x + 6 = 0 mit der Faktorisierungsmethode.

Siedlung:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(5x + 3) (x + 2) = 0

5x = -3 oder x = -2

Das Ergebnis der Lösung ist also x = -3/5 oder x = -2

2. Perfekte Quadrate

Die perfekte quadratische Form ist eine quadratische Gleichung, die rationale Zahlen erzeugt .

Die Ergebnisse einer perfekten quadratischen Gleichung verwenden im Allgemeinen die folgende Formel:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

Die allgemeine Lösung für die perfekte quadratische Gleichung lautet wie folgt:

(x + p) 2 = x2 + 2px + p2

mit (x + p) 2 = q, dann:

(x + p) 2 = q

x + p = ± q

x = -p ± q

Das Folgende ist ein Beispiel für ein Problem bei der Verwendung der perfekten Gleichungsmethode.

Löse die Gleichung x2 + 6x + 5 = 0 mit der perfekten quadratischen Gleichungsmethode!

Siedlung:

x2 + 6x +5 = 0

x2 + 6x = -5

Der nächste Schritt besteht darin , eine Zahl im rechten und linken Segment hinzuzufügen , damit sie sich in ein perfektes Quadrat verwandeln kann.

x2 + 6x + 9 = -5 + 9

x2 + 6x + 9 = 4

(x + 3) 2 = 4

(x + 3) = √4

x = 3 ± 2

Das Endergebnis ist also x = -1 oder x = -5

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3. Quadratische ABC-Formeln

Die abc-Formel ist eine alternative Wahl, wenn die quadratische Gleichung nicht durch Faktorisierung oder perfekte quadratische Methoden gelöst werden kann.

Das Folgende ist die abc- Formel für die quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0.

die Wurzeln der quadratischen Gleichung

Das Folgende ist ein Beispiel für die Lösung eines quadratischen Gleichungsproblems unter Verwendung der abc- Formel .

Löse die Gleichung x2 + 4x - 12 = 0 mit der abc Formelmethode!

Siedlung:

x2 + 4x - 12 = 0

wobei a = 1, b = 4, c = -12

Konstruieren einer neuen quadratischen Gleichung

Wenn wir zuvor gelernt haben, die Wurzeln der Gleichung zu finden, werden wir jetzt lernen, die quadratische Gleichung aus den zuvor bekannten Wurzeln zusammenzusetzen.

Hier sind einige Möglichkeiten, wie Sie eine neue PK erstellen können.

1. Konstruieren Sie eine Gleichung, wenn die Wurzeln bekannt sind

Wenn eine Gleichung die Wurzeln x1 und x2 hat, kann die Gleichung für diese Wurzeln ausgedrückt werden als

(x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0

Beispiel:

Finden Sie eine quadratische Gleichung, bei der die Wurzeln zwischen -2 und 3 liegen.

Siedlung:

x 1 = -2 und x 2 = 3

(x - (- 2)) (x-3) = 0

(x + 2) (x + 3)

x2-3x + 2x-6 = 0

x2-x-6 = 0

Das Ergebnis der Gleichung für diese Wurzeln ist also x2-x-6 = 0

2. Konstruieren Sie eine quadratische Gleichung, wenn Sie die Anzahl und das Produkt der Wurzeln kennen

Wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichung mit der Anzahl und den Zeiten von x1 und x2 bekannt sind, kann die quadratische Gleichung in die folgende Form umgewandelt werden.

x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0

Beispiel:

Finden Sie eine quadratische Gleichung mit den Wurzeln 3 und 1/2.

Siedlung:

x 1 = 3 und x 2 = -1/2

x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2

x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2

Somit lautet die quadratische Gleichung:

x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0

x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (jede Seite multipliziert mit 2)

2x2-5x-3 = 0

Die quadratische Gleichung für die Wurzeln 3 und 1/2 lautet also 2x2-5x-3 = 0.